Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\cos (2 x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({\cos (2 x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\cos (2 x)}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\cos (2 x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (2 x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (2 x))}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (\cos (2 x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (2 x))}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 2 x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (2 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (2 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (2 x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Объединим $\frac{1}{\cos (2 x)}$ и $\sin (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Этап 4.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- 2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}}$

Этап 4.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}}$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Этап 4.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- 2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 2 \frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- 2 \frac{\sin (2 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{- 2 \frac{\sin (0)}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0)}}$

Этап 6.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Этап 6.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 6.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$