Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (π \cos (0))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{\sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.2.3.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π \cos (x)$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) (π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.5

Изменим порядок множителей в $\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Этап 1.3.9

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.4

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π \frac{- \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{- \cos (π \cdot 1) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.2

Умножим $π$ на $1$ .

$π \frac{- \cos (π) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$π \frac{- - 1 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.5

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.5.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.6

Умножим $\sin (0)$ на $1$ .

$π \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.2.8.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$π \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 3.1.3.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \frac{0}{0 + 0}$

Этап 3.1.3.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$π \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$π \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$π \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$π \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$π lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (π \cos (x)) \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.3

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.6

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π \cos (x)$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \cdot - 1 \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.9

Умножим $\sin (π \cos (x))$ на $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.11

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.14.2

Изменим порядок членов.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Этап 3.3.15

По правилу суммы производная $x \cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.16

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.16.1

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.16.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.16.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.16.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 3.3.17

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Этап 3.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.18.1

Добавим $\cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 3.3.18.2

Изменим порядок членов.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.6

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.8

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.10

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.13

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Этап 4.15

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.16

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.17

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Этап 4.18

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

Этап 4.19

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.5

$π \frac{- 1 \cdot (- \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot (- 1 \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.7

Умножим $- 1 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot - 1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.7.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$π \frac{1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.8

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0^{2} \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.10

Умножим $- π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.10.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$π \frac{1 + 0 π \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.10.2

Умножим $0$ на $π$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.11

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cdot 1)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.12

Умножим $π$ на $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.13

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.14

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.15

Умножим $0$ на $0$ .

$π \frac{1 + 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.1.16

Добавим $1$ и $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2.2

Умножим $0$ на $0$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Этап 6.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2}$

Этап 6.2.5

Добавим $0$ и $2$ .

$π \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$