Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{3}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{x}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Этап 1.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Этап 3

Так как числитель — константа, а знаменатель стремится к $0$ , когда переменная $x$ стремится к $0$ , дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к бесконечности.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Этап 4

Так как $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ и $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ , применим теорему о двух милиционерах.

$\infty + \infty$

Этап 5

Сумма бесконечностей бесконечна.

$\infty$