Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{(\frac{1}{x}) - 7}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\frac{1}{x} - 7 \cdot \frac{x}{x}}$

Этап 1.2

Объединим $- 7$ и $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\frac{1}{x} + \frac{- 7 x}{x}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\frac{1 - 7 x}{x}}$

Этап 2

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \arctan (x) \frac{x}{1 - 7 x}$

Этап 2.2

Объединим $\arctan (x)$ и $\frac{x}{1 - 7 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) x}{1 - 7 x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) x}{lim_{x \to 0} 1 - 7 x}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - 7 x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 7 x}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} x}{1 - lim_{x \to 0} 7 x}$

Этап 7

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} x}{1 - 7 lim_{x \to 0} x}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $\arctan (x)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\arctan (0) \cdot lim_{x \to 0} x}{1 - 7 lim_{x \to 0} x}$

Этап 8.2

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot lim_{x \to 0} x}{1 - 7 lim_{x \to 0} x}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot 0}{1 - 7 lim_{x \to 0} x}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot 0}{1 - 7 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{1 - 7 \cdot 0}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 9.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$