Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 y^{2}}{3 y^{4} - 16 y^{2}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем член $\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} lim_{x \to 0} 5 x^{3} + 8 y^{2}$

Этап 1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (lim_{x \to 0} 5 x^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Этап 1.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Этап 1.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Этап 1.5

Найдем предел $8 y^{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 8 y^{2})$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{4} - 16 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2}) - 16 y^{2}} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 16 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2}) + y^{2} \cdot - 16} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (3 y^{2}) + y^{2} \cdot - 16$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (5 \cdot 0 + 8 y^{2})$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (0 + 8 y^{2})$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $8 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (8 y^{2})$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Этап 3.5

Объединим $8$ и $\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)}$ .

$\frac{8}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{3 y^{2} - 16}$