Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \tan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

Этап 1.1.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}$

Этап 1.3.9

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 2.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 2.1.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}$

Этап 2.1.3.7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (0)}$

Этап 2.1.3.7.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Этап 2.1.3.7.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \sec^{2} (x) + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.4.9

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 2.3.5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $\sec^{2} (x)$ и $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x (2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.4

Умножим $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.4.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.7

Объединим.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.8

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.8.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.8.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}$

Этап 2.3.6.3.9

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.3.6.3.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.3.6.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.3.6.3.12

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos^{3} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}$

Этап 2.4.2.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}$

Этап 3.10

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}$

Этап 3.11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 4.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (0) \frac{\cos^{3} (0)}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 \frac{\cos^{3} (0)}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{\cos^{3} (0)}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ на $1$ .

$\frac{\cos^{3} (0)}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1^{3}}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Этап 5.5.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Этап 5.5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Этап 5.5.6

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$