Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 1

Вынесем член $17$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Внесем предел под знак логарифма.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.8.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.8.2

Добавим $0$ и $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Этап 2.1.3.8.3

Добавим $0$ и $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Этап 2.1.3.8.4

Единица в любой степени равна единице.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Этап 2.1.3.8.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$17 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$17 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$17 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Этап 2.3.3.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Этап 2.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.6

Объединим ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ и $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.7

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.8

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ и ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ из $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ из ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Этап 2.3.9

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Этап 2.3.15

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Этап 2.3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.1

Изменим порядок множителей в $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Этап 2.3.16.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Этап 2.3.16.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.3.16.2.3

Перепишем многочлен.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Этап 2.3.16.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.3

Умножим $2 x - 2$ на $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.5

Сократим общий множитель $x - 1$ и ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.5.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Этап 2.3.16.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.16.5.2.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Этап 2.3.16.5.2.2

Сократим общий множитель.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Этап 2.3.16.5.2.3

Перепишем это выражение.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{x - 1}{6}$ на $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $17$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Этап 5.4

Умножим $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $\frac{17}{6}$ и $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Этап 5.4.2

Умножим $17$ на $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{17}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{17}{6}$

Десятичная форма:

$- 2.8\overline{3}$