Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{{(3 + x)}^{- 1}}{x}) - \frac{3^{- 1}}{x}$

Этап 1

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{- 1} - 3^{- 1}}{x}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3 + x} - 3^{- 1}}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3 + x} - \frac{1}{3}}{x}$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $\frac{1}{3 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3 + x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x}$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3 + x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + x}{3 + x}}{x}$

Этап 1.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 + x) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $\frac{1}{3 + x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{(3 + x) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + x}{3 + x}}{x}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3 + x}{3 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{(3 + x) \cdot 3} - \frac{3 + x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.5.3

Изменим порядок множителей в $(3 + x) \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3 (3 + x)} - \frac{3 + x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (3 + x)}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.7

Перепишем $\frac{3 - (3 + x)}{3 (3 + x)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - 3 - x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.7.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{0 - x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.7.4

Вычтем $x$ из $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{3 (3 + x)}}{x}$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{3 (3 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{3 (3 + x)}$ в числитель.

$lim_{x \to 0} \frac{- x}{3 (3 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{3 (3 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{3 (3 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{3 (3 + x)}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{3 (3 + x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{3 (3 + x)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 + x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 + x}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 + x}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + lim_{x \to 0} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{1}$