Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x)}{\cos (10 x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Этап 4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Этап 5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Этап 6

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{\cos (10 \cdot 0)}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $0$ на $\cos (8 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{\cos (10 \cdot 0)}$

Этап 8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $10$ на $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Этап 8.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 8.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$