Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}}) - \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 4

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{h}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x + h - 4} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 8

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 9

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Этап 12

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Этап 13

Вынесем член $\frac{1}{h}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x - 4}$

Этап 14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4)}$

Этап 15

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 16.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 16.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Этап 16.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим противоположные члены в $\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Этап 17.1.2

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Этап 17.1.3

Вычтем $1 \cdot 2$ из $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Этап 17.1.4

Вычтем $1 \cdot 4$ из $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Этап 17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Этап 17.2.2

Вынесем множитель $\frac{1}{h}$ из $\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)}$ .

$h \frac{h + 2}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Этап 17.2.3

Объединим $h$ и $\frac{h + 2}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Этап 17.2.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Этап 17.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Этап 17.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{1}{h} \cdot (4)$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Этап 17.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 \cdot 1}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Этап 17.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{1}{h} \cdot (2)}$

Этап 17.2.6

Объединим $\frac{1}{h}$ и $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{2}{h}}$

Этап 17.2.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - (1 \frac{h}{2})$

Этап 17.2.8

Умножим $\frac{h}{2}$ на $1$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{h}{2}$

Этап 17.3

Чтобы записать $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2}$

Этап 17.4

Чтобы записать $- \frac{h}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Этап 17.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(h - 4) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Этап 17.5.2

Умножим $\frac{h}{2}$ на $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.5.3

Изменим порядок множителей в $(h - 4) \cdot 2$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{2 (h - 4)} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.7.1.1

Вынесем множитель $h$ из $h (h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.1.2

Вынесем множитель $h$ из $- h (h - 4)$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.1.3

Вынесем множитель $h$ из $h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h (h \cdot 2 + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.3

Перенесем $2$ влево от $h$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 4 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{h (2 h + 4 - h - - 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{h (2 h + 4 - h + 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.7

Вычтем $h$ из $2 h$ .

$\frac{h (h + 4 + 4)}{2 (h - 4)}$

Этап 17.7.8

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{h (h + 8)}{2 (h - 4)}$