Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.3

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.7.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (3 x)$ и $g (x) = \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.7

Перенесем $5$ влево от $\sin (3 x) \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.11

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.12

Перенесем $3$ влево от $\sin (5 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \cdot (\sin (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.13

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{2 x}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.13

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.14

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.14.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.15.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.6

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.7

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.10

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.11

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.1.12

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.15.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (5 x) \sin (3 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.10

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.11

Перенесем $3$ влево от $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.12

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3.13

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6.2

Производная $\cos (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $- \sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.6.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.9

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.10

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.11

Перенесем $5$ влево от $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.12

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.13

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.3.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.2

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.5

Изменим порядок множителей в $15 \cos (5 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.6

Добавим $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ и $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.7

Изменим порядок множителей в $- 9 \sin (5 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5.3.8

Вычтем $9 \sin (3 x) \sin (5 x)$ из $- 25 \sin (3 x) \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{1}$

Этап 3.4

Разделим $30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.2

Вынесем член $30$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.7

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.8

Вынесем член $34$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x))$

Этап 4.9

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Этап 4.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Этап 4.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Этап 4.12

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Этап 4.13

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.3

Умножим $30$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.4

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.6

Умножим $30$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.7

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.8

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.9

Умножим $- 34$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Этап 6.1.10

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (0))$

Этап 6.1.11

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot 0)$

Этап 6.1.12

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0)$

Этап 6.2

Добавим $30$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 30$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (15))$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 15)$

Этап 6.3.3

Перепишем это выражение.

$15$