Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Этап 1

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ в виде $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3.5

Внесем предел под знак логарифма.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Этап 3.7

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Этап 3.8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Этап 3.9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ из степени.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.4.2

Умножим $8$ на $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Этап 5.6

Добавим $0$ и $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Этап 5.7

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Этап 5.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 \ln (e)$

Этап 5.9

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$0 \cdot 1$

Этап 5.10

Умножим $0$ на $1$ .

$0$