Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\tan^{2} (3 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Этап 1.1.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (3 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Этап 1.1.3.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\tan^{2} (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Этап 1.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 1.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.6

Умножим $3$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.8

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}$

Этап 1.3.9

Изменим порядок множителей в $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 (3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x))}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x))}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 3.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Этап 3.1.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 3.1.3.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.8.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.8.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.8.4

Умножим $\tan (3 \cdot 0)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Этап 3.1.3.8.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\tan (0)}$

Этап 3.1.3.8.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (3 x)$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.4.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.5

Умножим $\sec^{2} (3 x)$ на $\sec^{2} (3 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{\sec (3 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.5.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{4} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.9

Перенесем $3$ влево от $\sec^{4} (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cdot \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (3 x)]}$

Этап 3.3.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Этап 3.3.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Этап 3.3.10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + \tan (3 x) \cdot 2 \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Этап 3.3.11

Перенесем $2$ влево от $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \cdot \tan (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}$

Этап 3.3.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.12.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.12.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.13

Возведем $\tan (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{1} (3 x) \tan (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.14

Возведем $\tan (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{1} (3 x) \tan^{1} (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 {\tan (3 x)}^{1 + 1} \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.17

Возведем $\sec (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{1} (3 x) \sec (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.18

Возведем $\sec (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) {\sec (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Этап 3.3.21

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 2 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.22

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.23

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}$

Этап 3.3.24

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{4} (3 x) + 6 \tan^{2} (3 x) \sec^{2} (3 x)}$

Этап 3.3.25

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.6

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.9

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.11

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.12

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \sec^{4} (3 x)}$

Этап 4.13

Вынесем степень $4$ в выражении $\sec^{4} (3 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{4}}$

Этап 4.14

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Этап 4.15

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot \tan^{2} (3 \cdot 0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot \tan^{2} (0) + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.6

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 0^{2} + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6 \cdot 0 + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.8

Умножим $6$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \sec^{4} (3 \cdot 0)}$

Этап 6.1.9

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \sec^{4} (0)}$

Этап 6.1.10

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \cdot 1^{4}}$

Этап 6.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3 \cdot 1}$

Этап 6.1.12

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3}$

Этап 6.1.13

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$