Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{h}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении ${(x + h)}^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Этап 5

Найдем предел $h$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Этап 6

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{h} ({(0 + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{h} ({(0 + h)}^{3} - 0^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $0$ и $h$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} - 0^{3})$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} - 0)$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} + 0)$

Этап 8.3

Добавим $h^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{h} h^{3}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $h$ из $h^{3}$ .

$\frac{1}{h} (h \cdot h^{2})$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{h} (h \cdot h^{2})$

Этап 8.4.3

Перепишем это выражение.

$h^{2}$