Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (2 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (2 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Этап 1.1.3.5.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.11

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1}$

Этап 1.3.13

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)}$

Этап 1.3.14

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Этап 2.1.3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 2.1.3.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.9.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (2 \cdot 0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (2 \cdot 0)}$

Этап 2.1.3.9.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Этап 2.1.3.9.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.7

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.4.9

Умножим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.5.1.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.5.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Этап 2.3.5.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Этап 2.3.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 2}$

Этап 2.3.5.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (x (- 2 \sin (2 x))) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.3.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 4 (x (\sin (2 x))) + 2 \cos (2 x) + 2 \cos (2 x)}$

Этап 2.3.6.2.2

Добавим $2 \cos (2 x)$ и $2 \cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 4 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 4 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}$

Этап 3.8

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Этап 3.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 3.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{0 \cdot 0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cos (2 \cdot 0)}$

Этап 5.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cos (0)}$

Этап 5.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{0 + 4 \cdot 1}$

Этап 5.2.7

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{0 + 4}$

Этап 5.2.8

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$0.25$