Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Этап 1.2

Выразим $\sec (x - 1)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ в $\sec (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Этап 1.4.2

Переведем $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ в $\cot (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Этап 4

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

Этап 5

Когда $x$ стремится к $0$ слева, функция неограниченно возрастает.

$\infty$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

Этап 7

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\sec (- 1) \cdot \infty$

Этап 8.3

Найдем значение $\sec (- 1)$ .

$1.00015232 \cdot \infty$

Этап 8.4

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty$