Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (1 + 3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln (1 + 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 5 x^{2})}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Этап 1.1.3.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 lim_{x \to 0} x^{2})}$

Этап 1.1.3.1.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{\ln (1 + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0^{2})}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Этап 1.1.3.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Этап 1.1.3.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.9

Объединим $2$ и $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.11

Объединим $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.12

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Этап 1.3.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Этап 1.3.13.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Этап 1.3.13.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Этап 1.3.14

По правилу суммы производная $1 + 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Этап 1.3.15

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Этап 1.3.16

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Этап 1.3.17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Этап 1.3.18

Объединим $5$ и $\frac{1}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} (2 x)}$

Этап 1.3.20

Объединим $2$ и $\frac{5}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{2 \cdot 5}{1 + 5 x^{2}} x}$

Этап 1.3.21

Умножим $2$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10}{1 + 5 x^{2}} x}$

Этап 1.3.22

Объединим $\frac{10}{1 + 5 x^{2}}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{1 + 5 x^{2}}}$

Этап 1.3.23

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{5 x^{2} + 1}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{3 x^{2} + 1} \cdot \frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$

Этап 1.5

Умножим $\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$ на $\frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Этап 1.6

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $6$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x (5 x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Этап 1.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(3 x^{2} + 1) (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Этап 1.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Этап 1.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Этап 1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) \cdot (5)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{3}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 1}{3 x^{2} + 1}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{5} \cdot 1$

Этап 4.4

Умножим $\frac{3}{5}$ на $1$ .

$\frac{3}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{5}$

Десятичная форма:

$0.6$