Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{8 \sec (0) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $8 \sec (x) - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sec (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.5

Добавим $8 \sec (x) \tan (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{2 x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 (x)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec (x) \tan (x)}{x}$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $\tan (0)$ на $1$ .

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.2.5.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.10

Изменим порядок членов.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{1}$

Этап 3.4

Разделим $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ на $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Этап 4.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\tan^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 ({(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Этап 4.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Этап 4.6

Вынесем степень $3$ в выражении $\sec^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3})$

Этап 4.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Этап 5.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 (0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Этап 6.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Этап 6.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 (0 \cdot 1 + \sec^{3} (0))$

Этап 6.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$4 (0 + \sec^{3} (0))$

Этап 6.1.5

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$4 (0 + 1^{3})$

Этап 6.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$4 (0 + 1)$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 6.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4$