Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (\sqrt{9 x^{4} + 8}) - 3 x^{2} - \frac{3}{x^{4}} + 3$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 4

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 5

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 9

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 12

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Этап 13

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Этап 14

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Этап 14.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Этап 14.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\sqrt{9 \cdot 4096 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.2

Умножим $9$ на $4096$ .

$\sqrt{36864 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.3

Добавим $36864$ и $8$ .

$\sqrt{36872} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.4

Перепишем $36872$ в виде $2^{2} \cdot 9218$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $36872$ .

$\sqrt{4 (9218)} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 64 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.7

Умножим $- 3$ на $64$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Этап 15.1.8

Возведем $8$ в степень $4$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 (\frac{1}{4096}) + 3$

Этап 15.1.9

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 + \frac{- 3}{4096} + 3$

Этап 15.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sqrt{9218} - 192 - \frac{3}{4096} + 3$

Этап 15.2

Чтобы записать $- 192$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 \cdot \frac{4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Этап 15.3

Объединим $- 192$ и $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096 - 3}{4096} + 3$

Этап 15.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Умножим $- 192$ на $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786432 - 3}{4096} + 3$

Этап 15.5.2

Вычтем $3$ из $- 786432$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435}{4096} + 3$

Этап 15.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3$

Этап 15.7

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3 \cdot \frac{4096}{4096}$

Этап 15.8

Объединим $3$ и $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + \frac{3 \cdot 4096}{4096}$

Этап 15.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 3 \cdot 4096}{4096}$

Этап 15.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.10.1

Умножим $3$ на $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 12288}{4096}$

Этап 15.10.2

Добавим $- 786435$ и $12288$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 774147}{4096}$

Этап 15.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Десятичная форма:

$3.02009978 \dots$