Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{x + 5}}{x}) - (\frac{\frac{1}{5}}{x})$

Этап 1

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} - \frac{1}{5}}{x}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{x + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{x}$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Этап 1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 5) \cdot 5$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{x + 5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Этап 1.2.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 5) \cdot 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{5 (x + 5)} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 1 \cdot 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.5.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x + 0}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.5.4

Добавим $- x$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{5 (x + 5)}}{x}$

Этап 1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{5 (x + 5)}$ в числитель.

$lim_{x \to 0} \frac{- x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.4.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{5 (x + 5)}$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{5 (x + 5)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{5 (x + 5)}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- \frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 5}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5}$

Этап 2.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{0 + 5}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $5$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 4.2

Умножим $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{1}{25}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{25}$

Десятичная форма:

$- 0.04$