Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

Этап 1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Этап 1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $x \cot (x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Выразим $\sec (2 \cdot 0)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Этап 9.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ .

$1 \cos (2 \cdot 0)$

Этап 9.3

Умножим $\cos (2 \cdot 0)$ на $1$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Этап 9.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\cos (0)$

Этап 9.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$