Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\tan (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 1.5

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.6

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 1.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Этап 1.8

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Этап 1.9

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Этап 1.9.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\cos (0)$

Этап 4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1$