Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - 3^{- 1}}{h}$

Этап 2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h}$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $\frac{1}{3 + h}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{h}$

Этап 2.1.4

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Этап 2.1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 + h) \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $\frac{1}{3 + h}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Этап 2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.5.3

Изменим порядок множителей в $(3 + h) \cdot 3$ .

$\frac{\frac{3}{3 (3 + h)} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.7

Перепишем $\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.7.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.7.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\frac{0 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.7.4

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{\frac{- h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{h}{3 (3 + h)}}{h}$

Этап 2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{h}{3 (3 + h)}$ в числитель.

$\frac{- h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3 (3 + h)}$

Этап 2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 (3 + h)}$