Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Этап 3

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Этап 7.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 7.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 7.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 7.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 7.2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 7.2.4.5

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.5.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 7.2.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Этап 7.2.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 7.2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 7.2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 7.3.3

Перепишем это выражение.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Десятичная форма:

$3.06146745 \dots$