Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} - \frac{1}{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\ln (x + 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln (x + 1) x} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x + 1) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1)} - \frac{\ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0 - \ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.6.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 2.1.3.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 2.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 2.1.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 2.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 2.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1)}$

Этап 2.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1)}$

Этап 2.1.3.6.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.6.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \ln (x + 1)}{x \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - \ln (x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x + 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.6

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (\frac{1}{x + 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.4.7

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 1 - 1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.5.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x + 0}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.5.4

Добавим $x$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.12

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.13

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1}$

Этап 2.3.15

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1)}$

Этап 2.3.16

Чтобы записать $\ln (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 2.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1}{x + 1}}$

Этап 2.3.18.1.1.2

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 2.3.18.1.2

Изменим порядок множителей в $x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + x \ln (x + 1) + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 2.3.18.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3.3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Этап 3.1.3.6

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.1.3.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Этап 3.1.3.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.1.3.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.1.3.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + lim_{x \to 0} x + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.1.3.9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Этап 3.1.3.9.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (0 + 1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Этап 3.1.3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.10.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot \ln (1) + 0 + \ln (0 + 1)}$

Этап 3.1.3.10.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Этап 3.1.3.10.1.3

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (0 + 1)}$

Этап 3.1.3.10.1.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 + \ln (1)}$

Этап 3.1.3.10.1.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Этап 3.1.3.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 3.1.3.10.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.10.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.11

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $x \ln (x + 1) + x + \ln (x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.7

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.8

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.9

Объединим $x$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.10

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.11

Чтобы записать $\ln (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Этап 3.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.6.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.6.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 3.3.6.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 3.3.6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Этап 3.3.6.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Этап 3.3.6.6

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + 1 + \frac{1}{x + 1}}$

Этап 3.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1) + x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.1.3

Добавим $x$ и $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 1 + 1}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 + 2 x + 2}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2.2

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2.3

Перепишем $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) + 2 x + 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.3.1

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x \ln (x + 1) + 2 x + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x \ln (x + 1) + 2 x) + \ln (x + 1) + 2}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{x (\ln (x + 1) + 2) + 1 (\ln (x + 1) + 2)}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\ln (x + 1) + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.3.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(\ln (x + 1) + 2) (x + 1)}{x + 1}}$

Этап 3.3.7.3.2

Разделим $\ln (x + 1) + 2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln (x + 1) + 2}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + 2}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 4.4

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 4.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2}$

Этап 4.7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{\ln (0 + 1) + 2}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + 2}$

Этап 6.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$