Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (\frac{1}{3 x}) - (\frac{1}{x (x + 3)})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы записать $\frac{1}{3 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)})$

Этап 1.1.1.2

Чтобы записать $- (\frac{1}{x (x + 3)})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Умножим $\frac{1}{3 x}$ на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.1.1.3.2

Умножим $\frac{1}{x (x + 3)}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{x (x + 3) \cdot 3}$

Этап 1.1.1.3.3

Изменим порядок множителей в $x (x + 3) \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{3 x (x + 3)}$

Этап 1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3 - 3}{3 x (x + 3)}$

Этап 1.1.1.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 0}{3 x (x + 3)}$

Этап 1.1.1.6

Добавим $x$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

Этап 1.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

Этап 1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 (x + 3)}$

Этап 1.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 3}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$