Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \cos (x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to 0} x)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (0)}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (0)}{\sin (0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (0)}{\sin (0) - \cos (0)}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{1 - 0}{\sin (0) - \cos (0)}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sin (0) - \cos (0)}$

Этап 9.1.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin (0) - \cos (0)}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{0 - \cos (0)}$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 9.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Этап 9.2.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 9.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$