Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 9.1.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})}$

Этап 9.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Этап 9.2.4

Перепишем $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 9.2.4.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1

Сократим выражение $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Этап 9.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Этап 9.2.4.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$0$