Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\tan (5 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 1.2

Выразим $\tan (4 x)$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ в $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Этап 1.4.2

Переведем $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ в $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Этап 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Этап 6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8.1.3

Перепишем это выражение.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Этап 8.4

Объединим $5$ и $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Этап 8.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Этап 8.6

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 \cdot 0$

Этап 8.7

Умножим $0$ на $0$ .

$0$