Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Этап 2.1.3.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\csc (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $- \csc (x) \cot (x)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.5.2

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Этап 2.3.6

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Этап 2.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $\csc (x)$ и $\csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\cot (x) \csc (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вынесем множитель $\csc (x)$ из $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Этап 2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Этап 3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Этап 5.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$