Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Этап 3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

Этап 7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Этап 9.2.2

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

Этап 9.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

Этап 9.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

Этап 9.2.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{- π - 0}$

Этап 9.2.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{- π + 0}$

Этап 9.2.7

Добавим $- π$ и $0$ .

$\frac{1}{- π}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

Этап 9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{π}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{π}$

Десятичная форма:

$- 0.31830988 \dots$