Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π})$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cdot 0) \frac{2}{π})$

Этап 8.2.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 + 0) \frac{2}{π})$

Этап 8.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (1 \frac{2}{π})$

Этап 8.4

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 8.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{π}$

Десятичная форма:

$0.31830988 \dots$