Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

Этап 2.2.3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Этап 2.2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Этап 2.2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Этап 4.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5

$\frac{1 - \sqrt{0}}{1 + \sqrt{0}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{1 + \sqrt{0}}$

Этап 6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 - 0}{1 + \sqrt{0}}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + \sqrt{0}}$

Этап 6.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + \sqrt{0}}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{1 + \sqrt{0^{2}}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 6.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 6.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$