Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Этап 3

Внесем предел под знак логарифма.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{x}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{x}{2}$ для $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{x}{2}$ для $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Выразим $\tan (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Этап 6.2

Объединим $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ и $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

Этап 6.3

Разделим дроби.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Этап 6.4

Переведем $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ в $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

Этап 6.5

Разделим $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ на $1$ .

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$