Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + 3) (x^{2} - 1)$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Этап 4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\sqrt{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{2}$ для $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\sqrt{2}$ для $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$(2^{1} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.1.5

Найдем экспоненту.

$(2 + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.2

Добавим $2$ и $3$ .

$5 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot (2^{1} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.1.5

Найдем экспоненту.

$5 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \cdot (2 - 1)$

Этап 9.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$5 \cdot 1$

Этап 9.5

Умножим $5$ на $1$ .

$5$