Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \frac{2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} - x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - x + 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 9

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - x}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 lim_{x \to 8} \sqrt{x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 12

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - lim_{x \to 8} x + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - lim_{x \to 8} x}$

Этап 13.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 \cdot 64 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.3

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{8}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{4 (2)}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 2 (2 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{16 - \sqrt{256 - 8 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.7

Вычтем $8$ из $256$ .

$\frac{16 - \sqrt{248 + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.8

Перепишем $248 + 4 \sqrt{2}$ в виде $2^{2} (62 + \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $248$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62) + 4 (\sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.8.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (62) + 4 (\sqrt{2})$ .

$\frac{16 - \sqrt{4 (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.8.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{16 - \sqrt{2^{2} (62 + \sqrt{2})}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 - (2 \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.1.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{8} - 8}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{4 (2)} - 8}$

Этап 14.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 8}$

Этап 14.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Этап 14.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $16 - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ и $4 \sqrt{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (8) - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4 \sqrt{2} - 8}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Этап 14.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (8) + 2 (- \sqrt{62 + \sqrt{2}})$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{4 \sqrt{2} - 8}$

Этап 14.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) - 8}$

Этап 14.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2}) + 2 \cdot - 4}$

Этап 14.3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \sqrt{2}) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Этап 14.3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}})}{2 (2 \sqrt{2} - 4)}$

Этап 14.3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$

Этап 14.4

Умножим $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ на $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4} \cdot \frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$

Этап 14.5

Умножим $\frac{8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2} - 4}$ на $\frac{2 \sqrt{2} + 4}{2 \sqrt{2} + 4}$ .

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{(2 \sqrt{2} - 4) (2 \sqrt{2} + 4)}$

Этап 14.6

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{4 {\sqrt{2}}^{2} + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16}$

Этап 14.7

Упростим.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)}{- 8}$

Этап 14.8

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} + 4$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Вынесем множитель $2$ из $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (2 \sqrt{2} + 4)$ .

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{- 8}$

Этап 14.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 (- 4)}$

Этап 14.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2))}{2 \cdot - 4}$

Этап 14.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Этап 14.9

Развернем $(8 - \sqrt{62 + \sqrt{2}}) (\sqrt{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (\sqrt{2} + 2) - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Этап 14.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} (\sqrt{2} + 2)}{- 4}$

Этап 14.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 \sqrt{2} + 8 \cdot 2 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Этап 14.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.10.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \sqrt{2} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Этап 14.10.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - \sqrt{62 + \sqrt{2}} \cdot 2}{- 4}$

Этап 14.10.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{- 4}$

Этап 14.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{8 \sqrt{2} + 16 - \sqrt{2 (62 + \sqrt{2})} - 2 \sqrt{62 + \sqrt{2}}}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.03132183 \dots$