Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})$ , вынося $x + 3$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{(x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} (x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x + 3 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2.5

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x - 1})}$

Этап 2.6

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Этап 2.8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Этап 2.9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Этап 2.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $8$ и $3$ .

$e^{11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Этап 4.2

Упростим $11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})$ путем переноса $11$ под логарифм.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11})}$

Этап 4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

${(\frac{8 - 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Этап 4.4.2

Вычтем $4$ из $8$ .

${(\frac{4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Этап 4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{4}{8 - 1})}^{11}$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из $8$ .

${(\frac{4}{7})}^{11}$

Этап 4.6

Применим правило умножения к $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{11}}{7^{11}}$

Этап 4.7

Возведем $4$ в степень $11$ .

$\frac{4194304}{7^{11}}$

Этап 4.8

Возведем $7$ в степень $11$ .

$\frac{4194304}{1977326743}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4194304}{1977326743}$

Десятичная форма:

$0.00212119 \dots$