Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Этап 11

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Этап 12

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Этап 13

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Этап 14

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 1}$

Этап 15

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Этап 16

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Этап 16.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Этап 16.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Этап 16.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.1.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.1.3

Добавим $128$ и $1$ .

$\frac{129}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{129}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.3

Сократим общий множитель $129$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $129$ .

$\frac{3 (43)}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 64 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.4.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{43}{3} - \frac{128 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.4.3

Добавим $128$ и $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1}$

Этап 17.1.5.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{7}$

Этап 17.2

Чтобы записать $\frac{43}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7}$

Этап 17.3

Чтобы записать $- \frac{129}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 17.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $21$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $\frac{43}{3}$ на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 17.4.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 17.4.3

Умножим $\frac{129}{7}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

Этап 17.4.4

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{21}$

Этап 17.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{43 \cdot 7 - 129 \cdot 3}{21}$

Этап 17.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Умножим $43$ на $7$ .

$\frac{301 - 129 \cdot 3}{21}$

Этап 17.6.2

Умножим $- 129$ на $3$ .

$\frac{301 - 387}{21}$

Этап 17.6.3

Вычтем $387$ из $301$ .

$\frac{- 86}{21}$

Этап 17.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{86}{21}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{86}{21}$

Десятичная форма:

$- 4.\overline{095238}$