Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{5 \cos (x)}{x - (\frac{3 π}{2})}$

Этап 1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{3 π}{2}}$

Этап 2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - 3 π}{2}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 3.1.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$5 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4.1.2.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Этап 4.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Этап 4.1.3.1.3

Найдем предел $3 π$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - 3 π}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$5 \cdot 2 \frac{0}{3 π - 3 π}$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $3 π$ из $3 π$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Этап 4.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Этап 4.3.3

По правилу суммы производная $x \cdot 2 - 3 π$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Этап 4.3.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Этап 4.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Этап 4.3.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Этап 4.3.5

Поскольку $- 3 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 π$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Этап 4.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)$

Этап 5.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)$

Этап 5.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $5$ на $2$ .

$10 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$5 \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 7.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 7.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Этап 7.6

Умножим $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Этап 7.6.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$5$