Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3}{2}$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3}{2}$ для $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{3}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{3}}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.8

Умножим $- 3 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Объединим $- 3$ и $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.8.2

Умножим $- 3$ на $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Этап 9.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 2$

Этап 9.1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 2$

Этап 9.1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 2$

Этап 9.1.11

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 2$

Этап 9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 6 + 2 + \frac{27 - 27}{4}$

Этап 9.3

Вычтем $27$ из $27$ .

$- 6 + 2 + \frac{0}{4}$

Этап 9.4

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Запишем $- 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 2 + \frac{0}{4}$

Этап 9.4.2

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Этап 9.4.3

Умножим $\frac{- 6}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Этап 9.4.4

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} + \frac{0}{4}$

Этап 9.4.5

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Этап 9.4.6

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Этап 9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{- 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 24 + 8}{4}$

Этап 9.7

Добавим $- 24$ и $8$ .

$\frac{- 16}{4}$

Этап 9.8

Разделим $- 16$ на $4$ .

$- 4$