Математический анализ Примеры

$\frac{x - x^{2}}{2 - 3 x + x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - x^{2}$ и $g (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - (2 x)) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x + x^{2}]}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $2 - 3 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) - (x - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(2 - 3 x + x^{2}) (1 - 2 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 2 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 x (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} + x^{2} (- 2 x) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} x + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.9.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{1 + 2} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 - 4 x - 3 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Вычтем $3 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 - 7 x + 6 x^{2} + x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Добавим $6 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x - - x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + 1 x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + (- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.6

Развернем $(- x + x^{2}) (- 3 + 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x (- 3 + 2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} (- 3 + 2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} - x \cdot - 3 - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - x (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x \cdot x + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.5

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 \cdot x^{2} + x^{2} (2 x)}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{2} x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2})}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{1 + 2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 2 x^{2} - 3 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.1.7.2

Вычтем $3 x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $2 - 7 x + 7 x^{2} - 2 x^{3} + 3 x - 5 x^{2} + 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2} + 0}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 - 7 x + 7 x^{2} + 3 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 7 x$ и $3 x$ .

$\frac{2 + 7 x^{2} - 4 x - 5 x^{2}}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $5 x^{2}$ из $7 x^{2}$ .

$\frac{2 + 2 x^{2} - 4 x}{{(2 - 3 x + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 4 x + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} - 2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.4.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 3.5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 2) (x - 1))}^{2}}$

Этап 3.5.2

Применим правило умножения к $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель ${(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$