Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Этап 1.1.3.5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $\sin (x) - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Этап 1.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 1.3.6.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0^{2} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.6.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.2.6.4

Умножим $0$ на $1$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.1.3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (0)}$

Этап 3.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Этап 3.1.3.6.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Этап 3.1.3.6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{2} (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.4

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $\sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.6

Перепишем $- 1 \sin^{3} (x)$ в виде $- \sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.8

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.9

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.11

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.14

Изменим порядок членов.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.15

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.16

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.17

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.17.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Этап 3.3.17.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.17.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.17.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.17.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Этап 3.3.17.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.17.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.17.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.17.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}$

Этап 3.3.17.7

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.17.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Этап 3.3.18

Изменим порядок членов.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.7

Вынесем степень $3$ в выражении $\sin^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.9

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.9.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{2 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 \frac{2 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \frac{2 \cdot 0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$3 \frac{0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.2.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{0}{- 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Этап 4.1.3.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 4.1.3.8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.9.1.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9.1.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 0 - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9.1.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$3 \frac{0}{0 - \sin (0)}$

Этап 4.1.3.9.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0}{0 - 0}$

Этап 4.1.3.9.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 4.1.3.9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.9.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.3.10

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.2

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.6

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.6.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot - 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin^{3} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.4.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) + 2 \cdot - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.5.2.2

Изменим порядок множителей в $- 4 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.5.2.3

Вычтем $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ из $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 7 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.5.3

Изменим порядок членов.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Этап 4.3.6

По правилу суммы производная $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.2

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.6

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.6.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.7

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.8

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.10

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.11

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.12

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.7.14

Добавим $1$ и $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Этап 4.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Этап 4.3.8.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 2 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.3

Изменим порядок членов.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.7

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.8

Умножим $- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.4.8.1

Умножим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.8.2

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.9.4.8.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.8.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.9

Перенесем $4$ влево от $\sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.10

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.12

Единица в любой степени равна единице.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.13

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{- 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Этап 4.3.9.4.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Этап 4.4.2

Чтобы записать $- \cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 4.4.3

Объединим $- \cos (x)$ и $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{- \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{- lim_{x \to 0} 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{- 7 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.9

Вынесем степень $3$ в выражении $\cos^{3} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.10

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Этап 5.11

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.13

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.14

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.16

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.17

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.18

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.19

Вынесем степень $4$ в выражении $\cos^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.20

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Этап 5.21

Вынесем степень $4$ в выражении $\cos^{4} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

Этап 5.22

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.6

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Этап 6.7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{\cos^{4} (0)}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1^{4}}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.3.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Этап 7.3.5

Умножим $\cos (0)$ на $\cos^{4} (0)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Перенесем $\cos^{4} (0)$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos (0))})$

Этап 7.3.5.2

Умножим $\cos^{4} (0)$ на $\cos (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Возведем $\cos (0)$ в степень $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos^{1} (0))})$

Этап 7.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - {\cos (0)}^{4 + 1}})$

Этап 7.3.5.3

Добавим $4$ и $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos^{5} (0)})$

Этап 7.3.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1^{5}})$

Этап 7.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1 \cdot 1})$

Этап 7.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1})$

Этап 7.3.9

Вычтем $2$ из $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 2 - 1})$

Этап 7.3.10

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.3

Умножим $- 7$ на $0$ .

$3 ((0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 ((0 \cdot 1 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.5

Умножим $0$ на $1$ .

$3 ((0 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$3 ((0 + 2 \cdot 1^{3}) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$3 ((0 + 2 \cdot 1) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.4.8

Умножим $2$ на $1$ .

$3 ((0 + 2) \frac{1}{- 3})$

Этап 7.5

Добавим $0$ и $2$ .

$3 (2 (\frac{1}{- 3}))$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (2 (- \frac{1}{3}))$

Этап 7.7

Умножим $2 (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- 2 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.7.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{- 2}{3})$

Этап 7.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{- 2}{3})$

Этап 7.8.2

Перепишем это выражение.

$- 2$