Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin^{2} (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{{(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 4 \sin (\frac{3 π}{2}) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.5

$\frac{1 + 4 (- \sin (\frac{π}{2})) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 + 4 (- 1 \cdot 1) + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.7

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.8.1.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 4 \cdot - 1 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.1.7.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 4 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{- 3 + 3}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.2.8.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{3 π}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

$\frac{0}{- \sin (\frac{π}{2}) + 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3}{\sin (x) + 1} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.6.2

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (x) \sin (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.6.3.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.6.3.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) + 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $\sin (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.8

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x) + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (2 \frac{3 π}{2}) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (3 π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\sin (π) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (0) + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0 + 4 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.1.7

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.2.7.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Этап 2.1.3.3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\sin (2 x) + 4 \cos (x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $\sin (2 x) + 4 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.4.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) + 4 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Этап 2.3.5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{- \sin (x)}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 2 x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 4 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)}$

Этап 3.8

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)}$

Этап 3.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 \cos (2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{3 π}{2}$ для $x$ .

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cos (3 π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 \cos (π) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{2 (- \cos (0)) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1) - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.5

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 - 4 \sin (\frac{3 π}{2})}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.6

$\frac{- 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{- 2 - 4 (- 1 \cdot 1)}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.8

Умножим $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 - 4 \cdot - 1}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.8.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 + 4}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.1.9

Добавим $- 2$ и $4$ .

$\frac{2}{- \sin (\frac{3 π}{2})}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

$\frac{2}{- - \sin (\frac{π}{2})}$

Этап 5.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{2}{- (- 1 \cdot 1)}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{- - 1}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2}{1}$

Этап 5.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$