Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} (x - \frac{1}{2} \cdot π) \tan (3 x)$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} (x - \frac{π}{2}) \tan (3 x)$

Этап 1.1.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) \tan (3 x)$

Этап 1.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) \tan (3 x)$

Этап 1.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{x \cdot 2 - π}{2} \tan (3 x)$

Этап 1.2

Объединим $\frac{x \cdot 2 - π}{2}$ и $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} \frac{(x \cdot 2 - π) \tan (3 x)}{2}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2} \cdot π} (x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{1}{2} \cdot π)}^{-}} (x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{1}{2} \cdot π$ слева.

$\begin{array}{c} x & (x \cdot 2 - π) \tan (3 x) \\ 1.47079632 & - 0.64654562 \\ 1.56079632 & - 0.66646665 \\ 1.56979632 & - 0.66666466 \\ 1.57069632 & - 0.66666664 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $\frac{1}{2} \cdot π$ , значения функции стремятся к $- 0.667$ . Таким образом, предел $(x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{1}{2} \cdot π$ слева, равен $- 0.667$ .

$- 0.667$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{1}{2} \cdot π)}^{+}} (x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $(x \cdot 2 - π) \tan (3 x)$ , когда $x$ стремится к $\frac{1}{2} \cdot π$ справа.

$\begin{array}{c} x & (x \cdot 2 - π) \tan (3 x) \\ 1.67079632 & - 0.64654562 \\ 1.58079632 & - 0.66646665 \\ 1.57179632 & - 0.66666466 \\ 1.57089632 & - 0.66666664 \end{array}$

Этап 8

$\frac{1}{2} \cdot - 0.667$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 0.667$ .

$\frac{- 0.667}{2}$

Этап 9.2

Разделим $- 0.667$ на $2$ .

$- 0.3335$