Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x - 2}{4 x^{2} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x - 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Этап 4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 6

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + 1}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} + 1}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{4 (- \frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{4 (\frac{- 1}{2}) - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{- 1}{2} - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.1.4

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$\frac{- 4}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1}$

Этап 10.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1}$

Этап 10.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 4}{4 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1}$

Этап 10.2.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{- 4}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1}$

Этап 10.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 4}{4 \frac{1}{2^{2}} + 1}$

Этап 10.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- 4}{4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 10.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Этап 10.2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Этап 10.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Этап 10.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$- 2$