Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x - \frac{1}{2}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{\frac{x \cdot 2 - 1}{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 1) \frac{2}{x \cdot 2 - 1}$

Этап 2.1.2

Умножим $4 x^{2} - 1$ на $\frac{2}{x \cdot 2 - 1}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(4 x^{2} - 1) \cdot 2}{x \cdot 2 - 1}$

Этап 2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot 2 - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$2 \frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x^{2} - 1}{x \cdot 2 - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.5

Добавим $8 x$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $x \cdot 2 - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2 + 0}$

Этап 3.3.9

Добавим $2$ и $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x}{2}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (1)}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 4 x}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x}{1}$

Этап 3.4.2.4

Разделим $4 x$ на $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \cdot 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$2 (4) \frac{1}{2}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$4$