Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + 3 x - 3}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Этап 9

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Этап 10.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{- 5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.6

Чтобы записать $- \frac{5}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.7.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 5 \cdot 2}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.9.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{\frac{1 - 10}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.9.2

Вычтем $10$ из $1$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.11

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{- 9}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 9 + 2 \cdot 4}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.13.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\frac{- 9 + 8}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.13.2

Добавим $- 9$ и $8$ .

$\frac{\frac{- 1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Этап 11.2.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 11.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 3}$

Этап 11.2.6

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - 3}$

Этап 11.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 3}$

Этап 11.2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4} - 3}$

Этап 11.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4} - 3}$

Этап 11.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{1 + 6}{4} - 3}$

Этап 11.2.9.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3}$

Этап 11.2.10

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 11.2.11

Объединим $- 3$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}}$

Этап 11.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 3 \cdot 4}{4}}$

Этап 11.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{7 - 12}{4}}$

Этап 11.2.13.2

Вычтем $12$ из $7$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{\frac{- 5}{4}}$

Этап 11.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{1}{4}}{- \frac{5}{4}}$

Этап 11.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}$

Этап 11.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Этап 11.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{5}$

Десятичная форма:

$0.2$