Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.7

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.10

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0 \cdot (6 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.11.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{0 \cdot (2 (3) \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{0 \cdot (3 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.4.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{3 + 1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.6

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{4}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.7

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.8

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.2.11.9

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 1}$

Этап 2.1.3.7.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Этап 2.1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Этап 2.1.3.7.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{2 x - 1}{2}$ и $g (x) = 6 x^{2} + x - 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 2] + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.4

По правилу суммы производная $6 x^{2} + x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + 0) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.10

Добавим $12 x + 1$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x - 1}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.12

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.15

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.16

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.17

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.18

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.19

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.19.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.19.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.20

Умножим $6 x^{2} + x - 2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x) + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.2.1

Объединим $12$ и $\frac{2 x - 1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1)}{2} x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.2

Объединим $\frac{12 (2 x - 1)}{2}$ и $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12 (2 x - 1) x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 (1)} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 \cdot 1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x}{1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.3.2.4

Разделим $6 (2 x - 1) x$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.4

Умножим $\frac{2 x - 1}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.5

Чтобы записать $6 (2 x - 1) x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.6

Объединим $6 (2 x - 1) x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2 + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.8

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.9

Чтобы записать $6 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.10

Объединим $6 x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.12

Умножим $2$ на $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.13

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.14

Объединим $x$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.16

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + 2 \cdot x}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.17

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.18

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.19

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.21

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.2.22

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x + 12 x^{2} - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.3

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x - 1) + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.3

Умножим $- 1$ на $12$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.4.1.1

Перенесем $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 (x \cdot x) - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.4.2

Умножим $12$ на $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 24 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.5

Добавим $12 x^{2}$ и $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.6

Добавим $- 12 x$ и $4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 36 \cdot - 5 = - 180$ , а сумма — $b = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.7.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 (x) - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7.1.2

Запишем $- 8$ как $10$ плюс $- 18$

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + (10 - 18) x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + 10 x - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.4.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(36 x^{2} + 10 x) - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x (18 x + 5) - (18 x + 5)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.21.4.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $18 x + 5$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Этап 2.3.22

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.23

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.23.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.23.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.23.3

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.24

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.24.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.24.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.24.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Этап 2.3.25

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + 0}$

Этап 2.3.26

Добавим $8 x - 4$ и $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2} \cdot \frac{1}{8 x - 4}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}$ на $\frac{1}{8 x - 4}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2 (8 x - 4)}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} (18 x + 5) (2 x - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + 5 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.3

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.8

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 (9) \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot 9 \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.2

Добавим $9$ и $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.2.9.5

Умножим $14$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Этап 4.1.3.1.2

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Этап 4.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 (4) \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 4}$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.2

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.9

Перенесем $2$ влево от $18 x + 5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (18 x + 5) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.10

По правилу суммы производная $18 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.11

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.13

Умножим $18$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.14

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + 0)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.15

Добавим $18$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.16

Перенесем $18$ влево от $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + 18 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.3.1

Умножим $18$ на $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3.4

Умножим $18$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3.5

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x + 10 - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.17.3.6

Вычтем $18$ из $10$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Этап 4.3.18

По правилу суммы производная $8 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 4.3.19

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.19.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 4.3.19.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 4.3.19.3

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 4.3.20

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + 0}$

Этап 4.3.21

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $72 x - 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $8$ из $72 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x - 8}{8}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x + 8 \cdot - 1}{8}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (9 x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8}$

Этап 4.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 (1)}$

Этап 4.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 \cdot 1}$

Этап 4.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{9 x - 1}{1}$

Этап 4.4.4.4

Разделим $9 x - 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - 1$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Этап 5.2

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Этап 5.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Этап 6

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (9 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 7.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1)$

Этап 7.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 7.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 2}{2}$

Этап 7.5.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Этап 7.6

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 2}$

Этап 7.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{4}$

Десятичная форма:

$1.75$