Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} \cos (\frac{π}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\cos (lim_{t \to 0} \frac{π}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.2

Вынесем член $π$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\cos (π lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\cos (π \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.5

Внесем предел под знак радикала.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 19 - 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 19 - lim_{t \to 0} 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.7

Найдем предел $19$ , который является константой по мере приближения $t$ к $0$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - lim_{t \to 0} 3 \sec (2 t)}})$

Этап 1.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 lim_{t \to 0} \sec (2 t))}})$

Этап 1.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (lim_{t \to 0} 2 t))}})$

Этап 1.10

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (2 lim_{t \to 0} t))}})$

Этап 2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - (3 \sec (2 \cdot 0))}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (2 \cdot 0)}})$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \sec (0)}})$

Этап 3.1.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3 \cdot 1}})$

Этап 3.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{19 - 3}})$

Этап 3.1.5

Вычтем $3$ из $19$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{16}})$

Этап 3.1.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\cos (π \frac{1}{\sqrt{4^{2}}})$

Этап 3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (π \frac{1}{4})$

Этап 3.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Этап 3.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$0.70710678 \dots$