Математический анализ Примеры

$lim_{t \to 0} - 2 \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- 2 lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 2 \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t + n t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 4

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t + n t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 6

Вынесем член $m$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} n t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 7

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{m t - n t}{2})$

Этап 8

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{m t - n t}{2})$

Этап 9

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} m t - n t)$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (lim_{t \to 0} m t - lim_{t \to 0} n t))$

Этап 11

Вынесем член $m$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} n t))$

Этап 12

Вынесем член $n$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Этап 13

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n lim_{t \to 0} t)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Этап 13.2

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m lim_{t \to 0} t - n lim_{t \to 0} t))$

Этап 13.3

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n lim_{t \to 0} t))$

Этап 13.4

Найдем предел $t$ , подставив значение $0$ для $t$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $m$ на $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + n \cdot 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.1.2

Умножим $n$ на $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} (0 + 0)) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.2

Добавим $0$ и $0$ .

$- 2 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$- 2 \sin (0) \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 \cdot 0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (m \cdot 0 - n \cdot 0))$

Этап 14.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.1

Умножим $m$ на $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 - n \cdot 0))$

Этап 14.6.2

Умножим $- n \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.6.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0 n))$

Этап 14.6.2.2

Умножим $0$ на $n$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} (0 + 0))$

Этап 14.7

Добавим $0$ и $0$ .

$0 \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 14.8

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 \cdot \sin (0)$

Этап 14.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \cdot 0$

Этап 14.10

Умножим $0$ на $0$ .

$0$